什么是傅立葉變換？ 

簡單來說，傅里葉變換是將輸入的信號分解成指定樣式的構(gòu)造塊。例如，首先通過疊加具有不同頻率的兩個或更多個正弦函數(shù)而生成信號f（x），之后，僅查看f（x）的圖像缺無法了解使用哪種或多少原始函數(shù)來生成f（x）。

這就是傅立葉變換最神奇的地方。將f（x）函數(shù)通過一個傅立葉變換器，我們就可以得到一個新的函數(shù)F（x）。F（x）的是最初生成f（x）函數(shù)的頻率圖。因此，通過查看F（x）我們就可以得到用于生成f（x）函數(shù)的原始頻率。實際上，傅立葉變換可以揭示信號的重要特征，即其頻率分量。

例如下圖，該圖中有f（x）函數(shù)合成時的兩個不同頻率的原函數(shù)和對應(yīng)的傅里葉變換結(jié)果F（x）。

生成該圖片的代碼如下：

Fs = 150.0; ＃采樣率

Ts = 1.0 / Fs; ＃采樣間隔

t = np.arange（0,1，Ts）＃時間向量

ff1 = 5; ＃信號頻率1 

ff2 = 10; ＃信號2的頻率

y = np.sin（2 * np.pi * ff1 * t）+ np.sin（3 * np.pi * ff2 * t）

從圖中可以看出，由于原始函數(shù)是由兩個不同頻率的輸入函數(shù)組成的，因此經(jīng)過傅立葉變換后的相應(yīng)頻率圖顯示了兩個不同頻率的尖峰。

這是對傅立葉變換的比較簡單的解釋。它是一個非常復(fù)雜但非常有用的功能，在數(shù)學(xué)，物理和計算機(jī)視覺中得到了廣泛的應(yīng)用。 

圖像處理中的傅立葉變換

現(xiàn)在我們知道了傅里葉變換對信號處理的作用。它將輸入信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域。

但是它在圖像處理中有什么用？它將輸入圖像從空間域轉(zhuǎn)換為頻域。換句話說，如果要在進(jìn)行傅立葉變換后繪制圖像，我們將看到的只是高頻和低頻的頻譜圖。高頻偏向圖像中心，而低頻偏向周圍。具體形式如下圖所示。

上面對圖像進(jìn)行傅里葉變換的結(jié)果可以通過如下代碼實現(xiàn)：

import numpy as np 

import cv2 from matplotlib 

import pyplot as plt 

img = cv2.imread('scenery.jpg', 0) 

dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

dft_shift = np.fft.fftshift(dft) magnitude_spectrum = 20 *    np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1])) 

plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, cmap='gray') 

plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')

plt.title('After FFT'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

現(xiàn)在我們可以對圖像進(jìn)行FFT（快速傅里葉變換）變換了，并且可以使用轉(zhuǎn)換后的結(jié)果進(jìn)行多種操作：

邊緣檢測—使用高通濾波器或帶通濾波器

降噪—使用低通濾波器

圖像模糊-使用低通濾鏡

特征提�。ㄔ谀承┣闆r下）-過濾器和其他一些openCV工具的混合搭配

HPF濾波器

如前所述，在經(jīng)過FFT變換的圖像中，在中心處發(fā)現(xiàn)低頻，而在周圍散布了高頻，我們可以創(chuàng)建一個掩碼數(shù)組，該掩碼數(shù)組的中心是一個圓，其余全部為零。當(dāng)將此掩碼數(shù)組作用于原始圖像時，所得圖像將僅具有低頻。由于高頻對應(yīng)于空間域中的邊緣，這樣就可以實現(xiàn)圖像中的邊緣檢測。這個掩碼數(shù)組就時HPF濾波器。

我們可以通過如下代碼生成HPF濾波器

mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8) 

r = 80 center = [crow, ccol] 

x, y = np.ogrid[:rows, :cols] 

mask_area = (x - center) ** 2 + (y - center) ** 2 <= r*r

盡管可以選擇使用多種類型的過濾器，但是主要使用三種類型的過濾器：

高通濾波器（HPF）

低通濾波器（LPF）

帶通濾波器（BPF） 

使用openCV和NumPy的高通濾波器進(jìn)行邊緣檢測

在計算機(jī)視覺領(lǐng)域中，檢測圖像邊緣非常有用。一旦我們可以提取圖像中的邊緣，就可以將該知識用于特征提取或模式檢測。

圖像中的邊緣通常由高頻組成。因此，在對圖像進(jìn)行FFT（快速傅立葉變換）后，我們需要對FFT變換后的圖像應(yīng)用高通濾波器。該濾波器會阻止所有低頻，僅允許高頻通過。最后，我們對經(jīng)過了濾波器的圖像進(jìn)行逆FFT，就會得到原始圖像中一些明顯的邊緣特征。

接下來，我們使用汽車的圖像進(jìn)行此實驗，這個過程的代碼如下所示：

rows, cols = img.shape 

crow, ccol = int(rows / 2), int(cols / 2) # center 

# Circular HPF mask, center circle is 0, remaining all ones 

mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8) 

r = 80 center = [crow, ccol] 

x, y = np.ogrid[:rows, :cols] 

mask_area = (x - center) ** 2 + (y - center) ** 2 <= r*r 

# apply mask and inverse DFT 

fshift = dft_shift * mask 

fshift_mask_mag = 2000 * np.log(cv2.magnitude(fshift[:, :, 0], fshift[:, :, 1])) 

f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift) 

img_back = cv2.idft(f_ishift) 

img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])

plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, cmap='gray') 

plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray') plt.title('After FFT'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(2, 2, 3), plt.imshow(fshift_mask_mag, cmap='gray') plt.title('FFT + Mask'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(2, 2, 4), plt.imshow(img_back, cmap='gray') plt.title('After FFT Inverse'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.show()

程序運行結(jié)果如下圖所示：

可以看出，高通濾波器阻止了所有的低頻信號，并且僅允許高頻通過。由于邊緣通常是由高頻信號構(gòu)成的，因此可以在最后的圖像中找到原圖像的邊緣信息。