1. Kalman-Bucy濾波器及系統(tǒng)背景

Kalman-Bucy濾波器本質上是一種針對線性系統(tǒng)的濾波器，可以在系統(tǒng)中存在高斯白噪聲時對系統(tǒng)的內稟信號進行濾波，從而得到相對純凈、相對接近內稟信號的測量信號。

設濾波器的輸出信號（亦即測量信號）為Y(t)，濾波器的輸入信號（即系統(tǒng)的內稟信號，或稱有用信號）為X(t)。濾波器的作用，就是將系統(tǒng)中的狀態(tài)量X(t)在噪聲影響下，借助測量值Y(t)，正確估計出來系統(tǒng)中的內稟（有用）信號。

系統(tǒng)中的有用信號可以表示為

另外，假設有用信號初值的期望已知：

方差已知：

再設系統(tǒng)的輸出信號Y ( t ) \mathbf{Y}(t)Y(t)具有如下形式

設濾波器的濾波誤差為

濾波器的設計應當滿足如下條件，使得濾波器得到的狀態(tài)估計量為無偏的，且估計誤差的均方差

最小。

2. 系統(tǒng)中相關關系整理

濾波器的任務，就是根據測量值Y(t)得到狀態(tài)量X(t)的估計，且該估計為無偏的和最小誤差均方差的。

3. 公式推導

(1) 無偏估計條件

為滿足無偏估計的條件，需要有

對式(3)兩邊取期望有

代入式(5)并根據式(4)有

另一方面，對式(1)兩邊取數學期望有（考慮到噪聲的期望為0）

根據式(4)可以看出，式(6)和式(7)的等號右邊應該相等，那么

反代回式(3)，得到濾波器的結構

(2) 最小誤差均方差條件

最小誤差均方差條件表示為

對誤差求導有（用到式(2)(9)）

其中

(3) 誤差的方差條件

這里不加證明地給出如下結論：

(5) 矩陣跡的求導

為了求解式(15)，需要先介紹一些涉及到矩陣跡的求導公式

參照式(14)右邊的各項，先得出如下項的跡的導數：

把如上式子全部代入微分方程(15)，可以求解得

(6) 兩個噪聲之間的特殊情況

(7) 濾波器的結論